实现主成分分析和白化
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- | + | 在这一节里,我们将总结PCA, PCA白化和ZCA白化算法,并描述如何使用高效的线性代数库来实现它们。 | |
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+ | 首先,我们需要确保数据的均值(近似)为零。对于自然图像,我们通过减去每个图像块(patch)的均值(近似地)来达到这一目标。为此,我们计算每个图像块的均值,并从每个图像块中减去它的均值。(译注:参见PCA一章中“对图像数据应用PCA算法”一节)。Matlab实现如下: | ||
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+ | avg = mean(x, 1); % 分别为每个图像块计算像素强度的均值。 | ||
+ | x = x - repmat(avg, size(x, 1), 1); | ||
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+ | 下面,我们要计算 <math>\textstyle \Sigma = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (x^{(i)})(x^{(i)})^T</math> ,如果你在Matlab中实现(或者在C++, Java等中实现,但可以使用高效的线性代数库),直接求和效率很低。不过,我们可以这样一气呵成。 | ||
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+ | sigma = x * x' / size(x, 2); | ||
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+ | (自己推导一下看看)这里,我们假设 <math>x</math> 为一数据结构,其中每列表示一个训练样本(所以 <math>x</math> 是一个 <math>\textstyle n</math>×<math>\textstyle m</math> 的矩阵)。 | ||
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+ | 接下来,PCA计算 <math>\Sigma</math> 的特征向量。你可以使用Matlab的 <tt>eig</tt> 函数来计算。但是由于 <math>\Sigma</math> 是对称半正定的矩阵,用 <tt>svd</tt> 函数在数值计算上更加稳定。 | ||
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+ | 具体来说,如果你使用 | ||
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+ | [U,S,V] = svd(sigma); | ||
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+ | 那矩阵 <math>U</math> 将包含 <math>Sigma</math> 的特征向量(一个特征向量一列,从主向量开始排序),矩阵S 对角线上的元素将包含对应的特征值(同样降序排列)。矩阵 <math>\textstyle V</math> 等于 <math>\textstyle U</math> 的转置,可以忽略。 | ||
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+ | (注意 <tt>svd</tt> 函数实际上计算的是一个矩阵的奇异值和奇异向量,就对称半正定矩阵的特殊情况来说,它们对应于特征值和特征向量,这里我们也只关心这一特例。关于奇异向量和特征向量的详细讨论超出了本文范围。) | ||
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+ | 最后,我们可以这样计 算<math>\textstyle x_{\rm rot}</math> 和 <math>\textstyle \tilde{x}</math> : | ||
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+ | xRot = U' * x; % 数据旋转后的结果。 | ||
+ | xTilde = U(:,1:k)' * x; % 数据降维后的结果,这里k希望保留的特征向量的数目。 | ||
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+ | 这以 <math>\textstyle \tilde{x} \in \Re^k</math> 的形式给出了数据的PCA表示。顺便说一下,如果 <math>x</math> 是一个包括所有训练数据的 <math>\textstyle n</math>×<math>\textstyle m</math> 矩阵,这也是一种向量化的实现方式,上面的式子可以让你一次对所有的训练样本计算出 <math>x_{\rm rot}</math> 和 <math>\tilde{x}</math> 。得到的 <math>x_{\rm rot}</math> 和 <math>\tilde{x}</math> 中,每列对应一个训练样本。 | ||
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+ | 为计算PCA白化后的数据 <math>\textstyle x_{\rm PCAwhite}</math> ,可以用 | ||
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+ | xPCAwhite = diag(1./sqrt(diag(S) + epsilon)) * U' * x; | ||
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+ | 因为 <math>S</math> 的对角线包括了特征值 <math>\textstyle \lambda_i</math> ,这其实就是同时为所有样本<math>\textstyle i</math>计算 <math>\textstyle x_{{\rm PCAwhite},i} = \frac{x_{{\rm rot},i} }{\sqrt{\lambda_i}}</math> 的简洁表达。 | ||
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+ | 最后,你也可以这样计算ZCA白化后的数据<math>\textstyle x_{\rm ZCAwhite}</math>: | ||
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+ | xZCAwhite = U * diag(1./sqrt(diag(S) + epsilon)) * U' * x; | ||
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+ | ==中英文对照== | ||
+ | :主成分分析 Principal Components Analysis (PCA) | ||
+ | :白化 whitening | ||
+ | :均值为零 zero-mean | ||
+ | :均值 mean value | ||
+ | :特征值 eigenvalue | ||
+ | :特征向量 eigenvector | ||
+ | :对称半正定矩阵 symmetric positive semi-definite matrix | ||
+ | :数值计算上稳定 numerically reliable | ||
+ | :降序排列 sorted in decreasing order | ||
+ | :奇异值 singular value | ||
+ | :奇异向量 singular vector | ||
+ | :向量化实现 vectorized implementation | ||
+ | :对角线 diagonal | ||
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+ | ==中文译者== | ||
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+ | 周思远(visualzhou@gmail.com),张力(emma.lzhang@gmail.com),谭晓阳(x.tan@nuaa.edu.cn) | ||
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+ | {{预处理:主成分分析与白化}} | ||
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+ | {{Languages|Implementing_PCA/Whitening|English}} |