实现主成分分析和白化

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在这一节里,我们将总结PCA, PCA白化和ZCA白化算法,并描述如何使用高效的线性代数库来实现它们。

首先,我们需要确保数据的均值(近似)为零。对于自然图像,我们通过减去每个图像块(patch)的均值(近似地)来达到这一目标。为此,我们计算每个图像块的均值,并从每个图像块中减去它的均值。(译注:参见PCA一章中“对图像数据应用PCA算法”一节)。Matlab实现如下:

avg = mean(x, 1);     % 分别为每个图像块计算像素强度的均值。 
x = x - repmat(avg, size(x, 1), 1);

下面,我们要计算 \textstyle \Sigma = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (x^{(i)})(x^{(i)})^T ,如果你在Matlab中实现(或者在C++, Java等中实现,但可以使用高效的线性代数库),直接求和效率很低。不过,我们可以这样一气呵成。

sigma = x * x' / size(x, 2);

(自己推导一下看看)这里,我们假设 x 为一数据结构,其中每列表示一个训练样本(所以 x 是一个 \textstyle n×\textstyle m 的矩阵)。

接下来,PCA计算 Σ 的特征向量。你可以使用Matlab的 eig 函数来计算。但是由于 Σ 是对称半正定的矩阵,用 svd 函数在数值计算上更加稳定。

具体来说,如果你使用

[U,S,V] = svd(sigma);

那矩阵 U 将包含 Sigma 的特征向量(一个特征向量一列,从主向量开始排序),矩阵S 对角线上的元素将包含对应的特征值(同样降序排列)。矩阵 \textstyle V 等于 \textstyle U 的转置,可以忽略。

(注意 svd 函数实际上计算的是一个矩阵的奇异值和奇异向量,就对称半正定矩阵的特殊情况来说,它们对应于特征值和特征向量,这里我们也只关心这一特例。关于奇异向量和特征向量的详细讨论超出了本文范围。)

最后,我们可以这样计 算\textstyle x_{\rm rot}\textstyle \tilde{x}

xRot = U' * x;          % 数据旋转后的结果。 
xTilde = U(:,1:k)' * x; % 数据降维后的结果,这里k希望保留的特征向量的数目。 

这以 \textstyle \tilde{x} \in \Re^k 的形式给出了数据的PCA表示。顺便说一下,如果 x 是一个包括所有训练数据的 \textstyle n×\textstyle m 矩阵,这也是一种向量化的实现方式,上面的式子可以让你一次对所有的训练样本计算出 xrot\tilde{x} 。得到的 xrot\tilde{x} 中,每列对应一个训练样本。

为计算PCA白化后的数据 \textstyle x_{\rm PCAwhite} ,可以用

xPCAwhite = diag(1./sqrt(diag(S) + epsilon)) * U' * x;

因为 S 的对角线包括了特征值 \textstyle \lambda_i ,这其实就是同时为所有样本\textstyle i计算 \textstyle x_{{\rm PCAwhite},i} = \frac{x_{{\rm rot},i} }{\sqrt{\lambda_i}} 的简洁表达。

最后,你也可以这样计算ZCA白化后的数据\textstyle x_{\rm ZCAwhite}:

xZCAwhite = U * diag(1./sqrt(diag(S) + epsilon)) * U' * x;



中英文对照

主成分分析 Principal Components Analysis (PCA)
白化 whitening
均值为零 zero-mean
均值 mean value
特征值 eigenvalue
特征向量 eigenvector
对称半正定矩阵 symmetric positive semi-definite matrix
数值计算上稳定 numerically reliable
降序排列 sorted in decreasing order
奇异值 singular value
奇异向量 singular vector
向量化实现 vectorized implementation
对角线 diagonal


中文译者

周思远(visualzhou@gmail.com),张力(emma.lzhang@gmail.com),谭晓阳(x.tan@nuaa.edu.cn)


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Language : English

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