逻辑回归的向量化实现样例

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我们想用批量梯度上升法对logistic回归分析模型进行训练,其模型如下:

\begin{align}
h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)},
\end{align}

让我们遵从公开课程视频与CS229教学讲义的符号规范,设 \textstyle x_0=1,于是x\in R^{n+1}\theta \in R^{n+1}\textstyle \theta_0 为截距。假设我们有m个训练样本{(x^\left( 1\right) ,y^\left( 1\right) ) ,...,(x^\left( m\right) ,y^\left( m\right) )},而批量梯度上升法的更新法则是:\theta :=\theta +\alpha \nabla _{\theta }l\left( \theta \right) ,这里的 l\left( \theta \right) 是对数似然函数,\nabla _{\theta }l\left( \theta \right) 是其导函数。

[注:下文的符号规范与<公开课程视频>或<教学讲义CS229:机器学习>中的相同,详细内容可以参见公开课程视频或教学讲义#1 http://cs229.stanford.edu/]

于是,我们需要如下计算梯度:

\begin{align}
\nabla_\theta \ell(\theta) = \sum_{i=1}^m \left(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)}) \right) x^{(i)}_j.
\end{align}

我们用Matlab/Octave风格变量x表示输入数据构成的样本矩阵,x(:,i)代表第 i个训练样本x^{\left( i\right) },x(j,i)就代表x_{j}^{\left( i\right) }(译者注:第i个训练样本向量的第j个元素)。同样,用Matlab/Octave风格变量y表示由训练样本集合的全体类别标号所构成的行向量,则该向量的第i个元素y(i)就代表上式中的y^{\left(i\right) }\in \left\{ 0,1\right\} 。(注意这里跟公开课程视频及CS229的符号规范不同,矩阵x按列而不是按行存放输入训练样本,同样,y\in R^{1\times m}是行向量而不是列向量。)


以下是梯度运算代码的一种实现,非常恐怖,速度极慢:

% 代码1
grad = zeros(n+1,1);
for i=1:m,
  h = sigmoid(theta'*x(:,i));
  temp = y(i) - h; 
  for j=1:n+1,
    grad(j) = grad(j) + temp * x(j,i); 
  end;
end;


嵌套的for循环语句使这段代码的运行非常缓慢。以下是更典型的实现方式,它对算法进行部分向量化,带来更优的执行效率:

% 代码2
grad = zeros(n+1,1);
for i=1:m,
  grad = grad + (y(i) - sigmoid(theta'*x(:,i)))* x(:,i);
end;


但是,或许可以向量化得更彻底些。如果去除for循环,我们就可以显著地改善代码执行效率。特别的,假定b是一个列向量,A是一个矩阵,我们用以下两种方式来计算A*b:

% 矩阵-向量乘法运算的低效代码
grad = zeros(n+1,1);
for i=1:m,
  grad = grad + b(i) * A(:,i);  % 通常写法为A(:,i)*b(i)
end;
 
% 矩阵-向量乘法运算的高效代码
grad = A*b;


我们看到,代码2是用了低效的for循环语句执行梯度上升(译者注:原文是下降)运算,将b(i)看成(y(i) - sigmoid(theta'*x(:,i))),A看成x,我们就可以使用以下高效率的代码:

% 代码3
grad = x * (y- sigmoid(theta'*x));


这里我们假定Matlab/Octave的sigmoid(z)函数接受一个向量形式的输入z,依次对输入向量的每个元素施行sigmoid函数,最后返回运算结果,因此sigmoid(z)的输出结果是一个与z有相同维度的向量。

当训练数据集很大时,最终的实现(译者注:代码3)充分发挥了Matlab/Octave高度优化的数值线性代数库的优势来进行矩阵-向量操作,因此,比起之前代码要高效得多。

想采用向量化实现并非易事,通常需要周密的思考。但当你熟练掌握向量化操作后,你会发现,这里面有固定的设计模式(对应少量的向量化技巧),可以灵活运用到很多不同的代码片段中。


中英文对照

逻辑回归 Logistic Regression
批量梯度上升法 batch gradient ascent
截距 intercept term
对数似然函数 the log likelihood
导函数 derivative
梯度 gradient


中文译者

林锋(xlfg@yeah.net),谭晓阳(x.tan@nuaa.edu.cn),邓亚峰(dengyafeng@gmail.com)


矢量化编程 | 逻辑回归的向量化实现样例 | 神经网络向量化 | Exercise:Vectorization


Language : English

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