神经网络

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概述

以监督学习为例,假设我们有训练样本集 \textstyle (x(^ i),y(^ i)) ,那么神经网络算法能够提供一种复杂且非线性的假设模型 \textstyle h_{W,b}(x) ,它具有参数 \textstyle W, b ,可以以此参数来拟合我们的数据。


为了描述神经网络,我们先从最简单的神经网络讲起,这个神经网络仅由一个“神经元”构成,以下即是这个“神经元”的图示:

SingleNeuron.png


这个“神经元”是一个以 \textstyle x_1, x_2, x_3 及截距 \textstyle +1 为输入值的运算单元,其输出为 \textstyle  h_{W,b}(x) = f(W^Tx) = f(\sum_{i=1}^3 W_{i}x_i +b) ,其中函数 \textstyle f : \Re \mapsto \Re 被称为“激活函数”。在本教程中,我们选用sigmoid函数作为激活函数 \textstyle f(\cdot)


f(z) = \frac{1}{1+\exp(-z)}.

可以看出,这个单一“神经元”的输入-输出映射关系其实就是一个逻辑回归(logistic regression)。


虽然本系列教程采用sigmoid函数,但你也可以选择双曲正切函数(tanh):



f(z) = \tanh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}},

以下分别是sigmoid及tanh的函数图像

Sigmoid activation function. Tanh activation function.

\textstyle \tanh(z) 函数是sigmoid函数的一种变体,它的取值范围为 \textstyle [-1,1] ,而不是sigmoid函数的 \textstyle [0,1]


注意,与其它地方(包括OpenClassroom公开课以及斯坦福大学CS229课程)不同的是,这里我们不再令 \textstyle x_0=1 。取而代之,我们用单独的参数 \textstyle b 来表示截距。


最后要说明的是,有一个等式我们以后会经常用到:如果选择 \textstyle f(z) = 1/(1+\exp(-z)) ,也就是sigmoid函数,那么它的导数就是 \textstyle f'(z) = f(z) (1-f(z)) (如果选择tanh函数,那它的导数就是 \textstyle f'(z) = 1- (f(z))^2 ,你可以根据sigmoid(或tanh)函数的定义自行推导这个等式。


神经网络模型

所谓神经网络就是将许多个单一“神经元”联结在一起,这样,一个“神经元”的输出就可以是另一个“神经元”的输入。例如,下图就是一个简单的神经网络:

Network331.png

我们使用圆圈来表示神经网络的输入,标上“\textstyle +1”的圆圈被称为偏置节点,也就是截距项。神经网络最左边的一层叫做输入层,最右的一层叫做输出层(本例中,输出层只有一个节点)。中间所有节点组成的一层叫做隐藏层,因为我们不能在训练样本集中观测到它们的值。同时可以看到,以上神经网络的例子中有3个输入单元(偏置单元不计在内),3个隐藏单元及一个输出单元


我们用 \textstyle {n}_l 来表示网络的层数,本例中 \textstyle n_l=3 ,我们将第 \textstyle l 层记为 \textstyle L_l ,于是 \textstyle L_1 是输入层,输出层是 \textstyle L_{n_l} 。本例神经网络有参数 \textstyle (W,b) = (W^{(1)}, b^{(1)}, W^{(2)}, b^{(2)}) ,其中 \textstyle W^{(l)}_{ij} (下面的式子中用到)是第 \textstyle l 层第 \textstyle j 单元与第 \textstyle l+1 层第 \textstyle i 单元之间的联接参数(其实就是连接线上的权重,注意标号顺序), \textstyle b^{(l)}_i 是第 \textstyle l+1 层第 \textstyle i 单元的偏置项。因此在本例中, \textstyle W^{(1)} \in \Re^{3\times 3}\textstyle W^{(2)} \in \Re^{1\times 3} 。注意,没有其他单元连向偏置单元(即偏置单元没有输入),因为它们总是输出 \textstyle +1。同时,我们用 \textstyle s_l 表示第 \textstyle l 层的节点数(偏置单元不计在内)。


我们用 \textstyle a^{(l)}_i 表示第 \textstyle l 层第 \textstyle i 单元的激活值(输出值)。当 \textstyle l=1 时, \textstyle a^{(1)}_i = x_i ,也就是第 \textstyle i 个输入值(输入值的第 \textstyle i 个特征)。对于给定参数集合 \textstyle W,b ,我们的神经网络就可以按照函数 \textstyle h_{W,b}(x) 来计算输出结果。本例神经网络的计算步骤如下:


 
\begin{align}
a_1^{(2)} &= f(W_{11}^{(1)}x_1 + W_{12}^{(1)} x_2 + W_{13}^{(1)} x_3 + b_1^{(1)})  \\
a_2^{(2)} &= f(W_{21}^{(1)}x_1 + W_{22}^{(1)} x_2 + W_{23}^{(1)} x_3 + b_2^{(1)})  \\
a_3^{(2)} &= f(W_{31}^{(1)}x_1 + W_{32}^{(1)} x_2 + W_{33}^{(1)} x_3 + b_3^{(1)})  \\
h_{W,b}(x) &= a_1^{(3)} =  f(W_{11}^{(2)}a_1^{(2)} + W_{12}^{(2)} a_2^{(2)} + W_{13}^{(2)} a_3^{(2)} + b_1^{(2)}) 
\end{align}


我们用 \textstyle z^{(l)}_i 表示第 \textstyle l 层第 \textstyle i 单元输入加权和(包括偏置单元),比如, \textstyle  z_i^{(2)} = \sum_{j=1}^n W^{(1)}_{ij} x_j + b^{(1)}_i ,则 \textstyle a^{(l)}_i = f(z^{(l)}_i)


这样我们就可以得到一种更简洁的表示法。这里我们将激活函数 \textstyle f(\cdot) 扩展为用向量(分量的形式)来表示,即 \textstyle f([z_1, z_2, z_3]) = [f(z_1), f(z_2), f(z_3)] ,那么,上面的等式可以更简洁地表示为:


\begin{align}
z^{(2)} &= W^{(1)} x + b^{(1)} \\
a^{(2)} &= f(z^{(2)}) \\
z^{(3)} &= W^{(2)} a^{(2)} + b^{(2)} \\
h_{W,b}(x) &= a^{(3)} = f(z^{(3)})
\end{align}


我们将上面的计算步骤叫作前向传播。回想一下,之前我们用 \textstyle a^{(1)} = x 表示输入层的激活值,那么给定第 \textstyle l 层的激活值 \textstyle a^{(l)} 后,第 \textstyle l+1 层的激活值 \textstyle a^{(l+1)} 就可以按照下面步骤计算得到:


 \begin{align}
z^{(l+1)} &= W^{(l)} a^{(l)} + b^{(l)}   \\
a^{(l+1)} &= f(z^{(l+1)})
\end{align}


将参数矩阵化,使用矩阵-向量运算方式,我们就可以利用线性代数的优势对神经网络进行快速求解。


目前为止,我们讨论了一种神经网络,我们也可以构建另一种结构的神经网络(这里结构指的是神经元之间的联接模式),也就是包含多个隐藏层的神经网络。最常见的一个例子是 \textstyle  n_l 层的神经网络,第 \textstyle  1 层是输入层,第 \textstyle  n_l 层是输出层,中间的每个层 \textstyle  l 与层 \textstyle  l+1 紧密相联。这种模式下,要计算神经网络的输出结果,我们可以按照之前描述的等式,按部就班,进行前向传播,逐一计算第 \textstyle  L_2 层的所有激活值,然后是第 \textstyle  L_3 层的激活值,以此类推,直到第 \textstyle  L_{n_l} 层。这是一个前馈神经网络的例子,因为这种联接图没有闭环或回路。


神经网络也可以有多个输出单元。比如,下面的神经网络有两层隐藏层: \textstyle L_2\textstyle L_3 ,输出层 \textstyle L_4 有两个输出单元。


Network3322.png


要求解这样的神经网络,需要样本集 \textstyle (x^{(i)}, y^{(i)}) ,其中 \textstyle y^{(i)} \in \Re^2 。如果你想预测的输出是多个的,那这种神经网络很适用。(比如,在医疗诊断应用中,患者的体征指标就可以作为向量的输入值,而不同的输出值 \textstyle y_i 可以表示不同的疾病存在与否。)


中英文对照

neural networks 神经网络

activation function 激活函数

hyperbolic tangent 双曲正切函数

bias units 偏置项

activation 激活值

forward propagation 前向传播

feedforward neural network 前馈神经网络(参照Mitchell的《机器学习》的翻译)


中文译者

孙逊(sunpaofu@foxmail.com),林锋(xlfg@yeah.net),刘鸿鹏飞(just.dark@foxmail.com), 许利杰(csxulijie@gmail.com)


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