逻辑回归的向量化实现样例

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我们想用批量梯度上升法对logistic回归分析模型进行训练,其模型如下:
我们想用批量梯度上升法对logistic回归分析模型进行训练,其模型如下:
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<math>h_{\theta }\left( x\right) =\dfrac {1} {1+exp\left( -\theta ^{T}x\right) }</math>
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:<math>\begin{align}
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h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)},
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\end{align}</math>
让我们遵从公开课程视频与CS229教学讲义的符号规范,设 <math>\textstyle x_0=1</math>,于是<math>x\in R^{n+1}</math> ,<math>\theta \in R^{n+1}</math>, <math>\textstyle \theta_0</math> 为截距。假设我们有m个训练样本{(<math>x^\left( 1\right) </math>,<math>y^\left( 1\right)</math> ) ,...,(<math>x^\left( m\right)</math> ,<math>y^\left( m\right)</math> )},而批量梯度上升法的更新法则是:<math>\theta :=\theta +\alpha \nabla _{\theta }l\left( \theta \right) </math> ,这里的 <math>l\left( \theta \right) </math> 是对数似然函数,<math>\nabla _{\theta }l\left( \theta \right) </math> 是其导函数。
让我们遵从公开课程视频与CS229教学讲义的符号规范,设 <math>\textstyle x_0=1</math>,于是<math>x\in R^{n+1}</math> ,<math>\theta \in R^{n+1}</math>, <math>\textstyle \theta_0</math> 为截距。假设我们有m个训练样本{(<math>x^\left( 1\right) </math>,<math>y^\left( 1\right)</math> ) ,...,(<math>x^\left( m\right)</math> ,<math>y^\left( m\right)</math> )},而批量梯度上升法的更新法则是:<math>\theta :=\theta +\alpha \nabla _{\theta }l\left( \theta \right) </math> ,这里的 <math>l\left( \theta \right) </math> 是对数似然函数,<math>\nabla _{\theta }l\left( \theta \right) </math> 是其导函数。
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于是,我们需要如下计算梯度:
于是,我们需要如下计算梯度:
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<math>\nabla _{\theta }l\left( \theta \right) =\sum _{i=1}^{m}\left( y^{\left( i\right) }-h_{\theta }\left( x^{\left( i\right) }\right) \right) x_{j}^{\left( i\right) }</math>
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:<math>\begin{align}
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\nabla_\theta \ell(\theta) = \sum_{i=1}^m \left(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)}) \right) x^{(i)}_j.
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\end{align}</math>
我们用Matlab/Octave风格变量x表示输入数据构成的样本矩阵,x(:,i)代表第 i个训练样本<math>x^{\left( i\right) }</math>,x(j,i)就代表<math>x_{j}^{\left( i\right) }</math>(译者注:第i个训练样本向量的第j个元素)。同样,用Matlab/Octave风格变量y表示由训练样本集合的全体类别标号所构成的行向量,则该向量的第i个元素y(i)就代表上式中的<math>y^{\left(i\right) }\in \left\{ 0,1\right\} </math>。(注意这里跟公开课程视频及CS229的符号规范不同,矩阵x按列而不是按行存放输入训练样本,同样,<math>y\in R^{1\times m}</math>是行向量而不是列向量。)
我们用Matlab/Octave风格变量x表示输入数据构成的样本矩阵,x(:,i)代表第 i个训练样本<math>x^{\left( i\right) }</math>,x(j,i)就代表<math>x_{j}^{\left( i\right) }</math>(译者注:第i个训练样本向量的第j个元素)。同样,用Matlab/Octave风格变量y表示由训练样本集合的全体类别标号所构成的行向量,则该向量的第i个元素y(i)就代表上式中的<math>y^{\left(i\right) }\in \left\{ 0,1\right\} </math>。(注意这里跟公开课程视频及CS229的符号规范不同,矩阵x按列而不是按行存放输入训练样本,同样,<math>y\in R^{1\times m}</math>是行向量而不是列向量。)
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想采用向量化实现并非易事,通常需要周密的思考。但当你熟练掌握向量化操作后,你会发现,这里面有固定的设计模式(对应少量的向量化技巧),可以灵活运用到很多不同的代码片段中。
想采用向量化实现并非易事,通常需要周密的思考。但当你熟练掌握向量化操作后,你会发现,这里面有固定的设计模式(对应少量的向量化技巧),可以灵活运用到很多不同的代码片段中。
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{{Vectorized Implementation}}
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==中文译者==
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林锋(xlfg@yeah.net),@谭晓阳_南航,@邓亚峰-人脸识别

Revision as of 01:22, 29 March 2013

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