线性解码器

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稀疏自编码重述

稀疏自编码器包含3层神经元,分别是输入层,隐含层以及输出层。 从前面(神经网络)自编码器描述可知,位于神经网络中的神经元都采用相同的激励函数。 在注解中,我们修改了自编码器定义,使得某些神经元采用不同的激励函数。这样得到的模型更容易应用,而且模型对参数的变化也更为鲁棒。


回想一下,输出层神经元计算公式如下:


\begin{align}
z^{(3)} &= W^{(2)} a^{(2)} + b^{(2)} \\
a^{(3)} &= f(z^{(3)})
\end{align}

其中 a(3) 是输出. 在自编码器中, a(3) 近似重构了输入 x = a(1)


S 型激励函数输出范围是 [0,1],当 f(z(3)) 采用该激励函数时,就要对输入限制或缩放,使其位于 [0,1] 范围中。一些数据集,比如 MNIST,能方便将输出缩放到 [0,1] 中,但是很难满足对输入值的要求。比如, PCA 白化处理的输入并不满足 [0,1] 范围要求,也不清楚是否有最好的办法可以将数据缩放到特定范围中。


线性解码器

设定 a(3) = z(3) 可以很简单的解决上述问题。从形式上来看,就是输出端使用恒等函数 f(z) = z 作为激励函数,于是有 a(3) = f(z(3)) = z(3)。我们称该特殊的激励函数为 线性激励函数 (称为恒等激励函数可能更好些)。

需要注意,神经网络中隐含层的神经元依然使用S型(或者tanh)激励函数。这样隐含单元的激励公式为 \textstyle a^{(2)} = \sigma(W^{(1)}x + b^{(1)}) ,其中 \sigma(\cdot) 是 S 型函数, x 是输入, W(1) 和 b(1) 分别是隐单元的权重和偏差项。我们仅在输出层中使用线性激励函数。

一个 S 型或 tanh 隐含层以及线性输出层构成的自编码器,我们称为线性解码器

在这个线性解码器模型中,\hat{x} = a^{(3)} = z^{(3)} = W^{(2)}a + b^{(2)}。因为输出 \hat{x} 是隐单元激励输出的线性函数,改变 W(2) ,可以使输出值 a(3) 大于 1 或者小于 0。这使得我们可以用实值输入来训练稀疏自编码器,避免预先缩放样本到给定范围。

随着输出单元的激励函数的改变,这个输出单元梯度也相应变化。回顾之前每一个输出单元误差项定义为:


\begin{align}
\delta_i^{(3)}
= \frac{\partial}{\partial z_i} \;\;
        \frac{1}{2} \left\|y - \hat{x}\right\|^2 = - (y_i - \hat{x}_i) \cdot f'(z_i^{(3)})
\end{align}

其中 y = x 是所期望的输出, \hat{x} 是自编码器的输出, f(\cdot)  是激励函数.因为在输出层激励函数为 f(z) = z, 这样 f'(z) = 1,所以上述公式可以简化为


\begin{align}
\delta_i^{(3)} = - (y_i - \hat{x}_i)
\end{align}


当然,若使用反向传播算法来计算隐含层的误差项时:


\begin{align}
\delta^{(2)} &= \left( (W^{(2)})^T\delta^{(3)}\right) \bullet f'(z^{(2)})
\end{align}

因为隐含层采用一个 S 型(或 tanh)的激励函数 f,在上述公式中,f'(\cdot) 依然是 S 型(或 tanh)函数的导数。


中文译者

严晓东(yan.endless@gmail.com),姚涛(yaothinker@gmail.com),@晓风_机器学习

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