稀疏自编码重述

翻译者：严晓东, yan.endless@gmail.com,新浪微博：@月蝕-eclipse

校对者：姚涛, email: yaothinker@gmail.com, 新浪微博：@小狗笑了

终审：晓风, 新浪微博：@晓风_机器学习

Wiki上传者：严晓东;姚涛;晓风;

== Sparse Autoencoder Recap[稀疏自编码重述] ==

稀疏自编码器包含3层神经元，分别是输入层，隐含层以及输出层。
从前面（神经网络）自编码器描述可知，位于神经网络中的神经元都采用相同的激励函数。
在注解中，我们修改了自编码器定义，使得某些神经元采用不同的激励函数。这样得到的模型更容易应用，而且模型对参数的变化也更为鲁棒。


回想一下，输出层神经元计算公式如下：

<math>
\begin{align}
z^{(3)} &= W^{(2)} a^{(2)} + b^{(2)} \\
a^{(3)} &= f(z^{(3)})
\end{align}
</math>

其中 <math>a^{(3)}</math> 是输出. 在自编码器中, <math>a^{(3)}</math> 近似重构了输入<math>x = a^{(1)}</math>。


S型激励函数输出范围是<math>[0,1]</math>，当<math>f(z^{(3)})</math>采用该激励函数时，就要对输入限制或缩放，使其位于<math>[0,1]</math>范围中。一些数据集，比如MNIST，能方便将输出缩放到[0,1]中，但是很难满足对输入值的要求。比如，PCA白化处理的输入并不满足<math>[0,1]</math>范围要求，也不清楚是否有最好的办法可以将数据缩放到特定范围中。

== Linear Decoder[线性解码器] ==


设定<math>a^{(3)} = z^{(3)}</math>可以很简单的解决上述问题。从形式上来看，就是输出端使用恒等函数<math>f(z) = z</math>作为激励函数，于是有<math>a^{(3)} = f(z^{(3)}) = z^{(3)}</math>。我们称该特殊的激励函数为 '''线性激励函数 '''（称为恒等激励函数可能更好些）。
需要注意，神经网络中隐含层的神经元依然使用S型（或者tanh）激励函数。这样隐含单元的激励公式为 <math>\textstyle a^{(2)} = \sigma(W^{(1)}x + b^{(1)})</math> ,其中<math>\sigma(\cdot)</math> 是S型函数, <math>x</math> 是输入, <math>W^{(1)}</math> 和<math>b^{(1)}</math> 分别是隐单元的权重和偏差项。我们仅在输出层中使用线性激励函数。


一个S型或tanh隐含层以及线性输出层构成的自编码器，我们称为'''线性解码器'''。
在这个线性解码器模型中，<math>\hat{x} = a^{(3)} = z^{(3)} = W^{(2)}a + b^{(2)}</math>。因为输出<math>\hat{x} </math>是隐单元激励输出的线性函数，改变<math>W^{(2)}</math> ，可以使输出值<math>a^{(3)}</math>大于1或者小于0。这使得我们可以用实值输入来训练稀疏自编码器，避免预先缩放样本到给定范围。


随着输出单元的激励函数的改变，这个输出单元梯度也相应变化。回顾之前每一个输出单元误差项定义为：
:<math>
\begin{align}
\delta_i^{(3)}
= \frac{\partial}{\partial z_i} \;\;
        \frac{1}{2} \left\|y - \hat{x}\right\|^2 = - (y_i - \hat{x}_i) \cdot f'(z_i^{(3)})
\end{align}
</math>

其中 <math>y = x</math>是所期望的输出, <math>\hat{x}</math> 是自编码器的输出, <math>f(\cdot)</math>  是激励函数.因为在输出层激励函数为<math>f(z) = z</math>, 这样 <math>f'(z) = 1</math>，所以上述公式可以简化为
:<math>
\begin{align}
\delta_i^{(3)} = - (y_i - \hat{x}_i)
\end{align}
</math>


当然，若使用反向传播算法来计算隐含层的误差项时:

<math>
\begin{align}
\delta^{(2)} &= \left( (W^{(2)})^T\delta^{(3)}\right) \bullet f'(z^{(2)})
\end{align}
</math> 

因为隐含层采用一个S型（或tanh）的激励函数<math>f</math>,在上述公式中，<math>f'(\cdot)</math>依然是S型（或tanh）函数的导数。