神经网络
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- | 举一个监督学习的例子,假设我们有训练样本集 <math>\textstyle (x(^ i),y(^ i))</math>,那么神经网络算法能够提供一种复杂且非线性的假设模型<math>\textstyle h_{W,b}(x)</math>,它具有参数<math>\textstyle W, b</math>,可以以此参数来拟合我们的数据。 | + | 举一个监督学习的例子,假设我们有训练样本集 <math>\textstyle (x(^ i),y(^ i))</math> ,那么神经网络算法能够提供一种复杂且非线性的假设模型 <math>\textstyle h_{W,b}(x)</math> ,它具有参数 <math>\textstyle W, b</math> ,可以以此参数来拟合我们的数据。 |
为了描述神经网络,我们先从最简单的神经网络讲起,这个神经网络仅由一个“神经元”构成,以下即是这个“神经元”的图示: | 为了描述神经网络,我们先从最简单的神经网络讲起,这个神经网络仅由一个“神经元”构成,以下即是这个“神经元”的图示: | ||
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[[Image:SingleNeuron.png|300px|center]] | [[Image:SingleNeuron.png|300px|center]] | ||
- | 这个“神经元”是一个以<math>\textstyle x_1, x_2, x_3</math>及截距+1为输入值的运算单元,其输出为<math>\textstyle h_{W,b}(x) = f(W^Tx) = f(\sum_{i=1}^3 W_{i}x_i +b)</math>,其中函数<math>\textstyle f : \Re \mapsto \Re</math>被称为“激活函数”。在本教程中,我们选用sigmoid函数 | + | 这个“神经元”是一个以 <math>\textstyle x_1, x_2, x_3</math> 及截距+1为输入值的运算单元,其输出为 <math>\textstyle h_{W,b}(x) = f(W^Tx) = f(\sum_{i=1}^3 W_{i}x_i +b)</math> ,其中函数 <math>\textstyle f : \Re \mapsto \Re</math> 被称为“激活函数”。在本教程中,我们选用sigmoid函数 |
- | 作为'''激活函数'''<math>\textstyle f(\cdot)</math> | + | 作为'''激活函数''' <math>\textstyle f(\cdot)</math> |
- | :<math> | + | : <math> |
f(z) = \frac{1}{1+\exp(-z)}. | f(z) = \frac{1}{1+\exp(-z)}. | ||
- | </math> | + | </math> |
可以看出,这个单一“神经元”的输入-输出映射关系其实就是一个逻辑回归(logistic regression)。 | 可以看出,这个单一“神经元”的输入-输出映射关系其实就是一个逻辑回归(logistic regression)。 | ||
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虽然本系列教程采用sigmoid函数,但你也可以选择双曲正切函数(tanh): | 虽然本系列教程采用sigmoid函数,但你也可以选择双曲正切函数(tanh): | ||
- | :<math> | + | : <math> |
f(z) = \tanh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}}, | f(z) = \tanh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}}, | ||
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以下分别是sigmoid函数及tanh函数的图像 | 以下分别是sigmoid函数及tanh函数的图像 | ||
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</div> | </div> | ||
- | <math>\textstyle \tanh(z)</math> 函数是sigmoid函数的一种变体,它的取值范围为<math>\textstyle [-1,1]</math>,而不是sigmoid函数的<math>\textstyle [0,1]</math>。 | + | <math>\textstyle \tanh(z)</math> 函数是sigmoid函数的一种变体,它的取值范围为 <math>\textstyle [-1,1]</math> ,而不是sigmoid函数的 <math>\textstyle [0,1]</math> 。 |
- | 注意,与其它地方(包括OpenClassroom公开课以及斯坦福大学CS229课程)不同的是,这里我们不再令<math>\textstyle x_0=1</math>。取而代之,我们用单独的参数<math>\textstyle b</math>来表示截距。 | + | 注意,与其它地方(包括OpenClassroom公开课以及斯坦福大学CS229课程)不同的是,这里我们不再令 <math>\textstyle x_0=1</math> 。取而代之,我们用单独的参数 <math>\textstyle b</math> 来表示截距。 |
- | 最后要说明的是,有一个等式我们以后会经常用到:如果选择<math>\textstyle f(z) = 1/(1+\exp(-z))</math>,也就是sigmoid函数,那么它的导数就是<math>\textstyle f'(z) = f(z) (1-f(z))</math>(如果选择tanh函数,那它的导数就是<math>\textstyle f'(z) = 1- (f(z))^2</math>,你可以根据sigmoid(或tanh)函数的定义自行推导这个等式。 | + | 最后要说明的是,有一个等式我们以后会经常用到:如果选择 <math>\textstyle f(z) = 1/(1+\exp(-z))</math> ,也就是sigmoid函数,那么它的导数就是 <math>\textstyle f'(z) = f(z) (1-f(z))</math> (如果选择tanh函数,那它的导数就是 <math>\textstyle f'(z) = 1- (f(z))^2</math> ,你可以根据sigmoid(或tanh)函数的定义自行推导这个等式。 |
==神经网络模型== | ==神经网络模型== | ||
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如图,我们使用圆圈来表示神经网络的输入,标上“+1”的圆圈被称为'''偏置节点''',也就是截距项。神经网络最左边的一层叫做'''输入层''',最右的一层叫做'''输出层'''(本例中,输出层只有一个节点)。中间所有节点组成的一层叫做'''隐藏层''',因为我们不能在训练样本集中观测到它们的值。同时可以看到,以上神经网络的例子中有3个'''输入单元'''(偏置单元不计在内),3个'''隐藏单元'''及一个'''输出单元'''。 | 如图,我们使用圆圈来表示神经网络的输入,标上“+1”的圆圈被称为'''偏置节点''',也就是截距项。神经网络最左边的一层叫做'''输入层''',最右的一层叫做'''输出层'''(本例中,输出层只有一个节点)。中间所有节点组成的一层叫做'''隐藏层''',因为我们不能在训练样本集中观测到它们的值。同时可以看到,以上神经网络的例子中有3个'''输入单元'''(偏置单元不计在内),3个'''隐藏单元'''及一个'''输出单元'''。 | ||
- | 我们用<math>\textstyle {n}_l</math>来表示网络的层数,本例中<math>\textstyle n_l=3</math>,我们将第<math>\textstyle l</math>层记为<math>\textstyle L_l</math>,于是<math>\textstyle L_l</math>是输入层,输出层是<math>\textstyle L_{n_l}</math>。本例神经网络有参数<math>\textstyle (W,b) = (W^{(1)}, b^{(1)}, W^{(2)}, b^{(2)})</math>,其中<math>\textstyle W^{(l)}_{ij}</math>第<math>\textstyle l</math>层第<math>\textstyle j</math>单元与第<math>\textstyle l+1</math>层第<math>\textstyle i</math>单元之间的联接参数(其实就是连接线上的权重,注意标号顺序),<math>\textstyle b^{(l)}_i</math>是第<math>\textstyle l+1</math>层第<math>\textstyle i</math>单的偏置项。因此,本例中,<math>\textstyle W^{(1)} \in \Re^{3\times 3}</math>,<math>\textstyle W^{(2)} \in \Re^{1\times 3}</math>。注意,没有其他单元连向偏置单元(即偏置单元没有输入),因为它们总是输出+1。同时,我们用<math>\textstyle s_l</math>表示第<math>\textstyle l</math>层的节点数(偏置单元不计在内)。 | + | 我们用 <math>\textstyle {n}_l</math> 来表示网络的层数,本例中 <math>\textstyle n_l=3</math> ,我们将第 <math>\textstyle l</math> 层记为 <math>\textstyle L_l</math> ,于是 <math>\textstyle L_l</math> 是输入层,输出层是 <math>\textstyle L_{n_l}</math> 。本例神经网络有参数 <math>\textstyle (W,b) = (W^{(1)}, b^{(1)}, W^{(2)}, b^{(2)})</math> ,其中 <math>\textstyle W^{(l)}_{ij}</math> 第 <math>\textstyle l</math> 层第 <math>\textstyle j</math> 单元与第 <math>\textstyle l+1</math> 层第 <math>\textstyle i</math> 单元之间的联接参数(其实就是连接线上的权重,注意标号顺序), <math>\textstyle b^{(l)}_i</math> 是第 <math>\textstyle l+1</math> 层第 <math>\textstyle i</math> 单的偏置项。因此,本例中, <math>\textstyle W^{(1)} \in \Re^{3\times 3}</math> , <math>\textstyle W^{(2)} \in \Re^{1\times 3}</math> 。注意,没有其他单元连向偏置单元(即偏置单元没有输入),因为它们总是输出+1。同时,我们用 <math>\textstyle s_l</math> 表示第 <math>\textstyle l</math> 层的节点数(偏置单元不计在内)。 |
- | 我们用<math>\textstyle a^{(l)}_i</math>表示第<math>\textstyle l</math>层第<math>\textstyle i</math>号单元的'''激活值'''(输出值)。当<math>\textstyle l=1</math>时,<math>\textstyle a^{(1)}_i = x_i</math>,也就是第<math>\textstyle i</math>个输入值(输入值的第<math>\textstyle i</math>个特征)。对于给定参数集合<math>\textstyle W,b</math>,我们的神经网络就按照函数<math>\textstyle h_{W,b}(x)</math>计算输出结果。本例神经网络的计算过程就由以下步骤表示: | + | 我们用 <math>\textstyle a^{(l)}_i</math> 表示第 <math>\textstyle l</math> 层第 <math>\textstyle i</math> 号单元的'''激活值'''(输出值)。当 <math>\textstyle l=1</math> 时, <math>\textstyle a^{(1)}_i = x_i</math> ,也就是第 <math>\textstyle i</math> 个输入值(输入值的第 <math>\textstyle i</math> 个特征)。对于给定参数集合 <math>\textstyle W,b</math> ,我们的神经网络就按照函数 <math>\textstyle h_{W,b}(x)</math> 计算输出结果。本例神经网络的计算过程就由以下步骤表示: |
- | :<math> | + | : <math> |
\begin{align} | \begin{align} | ||
a_1^{(2)} &= f(W_{11}^{(1)}x_1 + W_{12}^{(1)} x_2 + W_{13}^{(1)} x_3 + b_1^{(1)}) \\ | a_1^{(2)} &= f(W_{11}^{(1)}x_1 + W_{12}^{(1)} x_2 + W_{13}^{(1)} x_3 + b_1^{(1)}) \\ | ||
Line 52: | Line 52: | ||
h_{W,b}(x) &= a_1^{(3)} = f(W_{11}^{(2)}a_1^{(2)} + W_{12}^{(2)} a_2^{(2)} + W_{13}^{(2)} a_3^{(2)} + b_1^{(2)}) | h_{W,b}(x) &= a_1^{(3)} = f(W_{11}^{(2)}a_1^{(2)} + W_{12}^{(2)} a_2^{(2)} + W_{13}^{(2)} a_3^{(2)} + b_1^{(2)}) | ||
\end{align} | \end{align} | ||
- | </math> | + | </math> |
- | 我们用<math>\textstyle z^{(l)}_i</math>表示第<math>\textstyle l</math>层第<math>\textstyle i</math>单元输入加权和(包括偏置单元),比如,<math>\textstyle z_i^{(2)} = \sum_{j=1}^n W^{(1)}_{ij} x_j + b^{(1)}_i</math>,则<math>\textstyle a^{(l)}_i = f(z^{(l)}_i)</math>。 | + | 我们用 <math>\textstyle z^{(l)}_i</math> 表示第 <math>\textstyle l</math> 层第 <math>\textstyle i</math> 单元输入加权和(包括偏置单元),比如, <math>\textstyle z_i^{(2)} = \sum_{j=1}^n W^{(1)}_{ij} x_j + b^{(1)}_i</math> ,则 <math>\textstyle a^{(l)}_i = f(z^{(l)}_i)</math> 。 |
- | 这样我们就可以得到一种更简洁的表示法。这里我们将激活函数<math>\textstyle f(\cdot)</math>扩展为用向量(分量的形式)来表示,即<math>\textstyle f([z_1, z_2, z_3]) = [f(z_1), f(z_2), f(z_3)]</math>,那么,上面的等式可以更简洁地表示为: | + | 这样我们就可以得到一种更简洁的表示法。这里我们将激活函数 <math>\textstyle f(\cdot)</math> 扩展为用向量(分量的形式)来表示,即 <math>\textstyle f([z_1, z_2, z_3]) = [f(z_1), f(z_2), f(z_3)]</math> ,那么,上面的等式可以更简洁地表示为: |
- | :<math>\textstyle \begin{align} | + | : <math>\textstyle \begin{align} |
z^{(2)} &= W^{(1)} x + b^{(1)} \\ | z^{(2)} &= W^{(1)} x + b^{(1)} \\ | ||
a^{(2)} &= f(z^{(2)}) \\ | a^{(2)} &= f(z^{(2)}) \\ | ||
z^{(3)} &= W^{(2)} a^{(2)} + b^{(2)} \\ | z^{(3)} &= W^{(2)} a^{(2)} + b^{(2)} \\ | ||
h_{W,b}(x) &= a^{(3)} = f(z^{(3)}) | h_{W,b}(x) &= a^{(3)} = f(z^{(3)}) | ||
- | \end{align}</math> | + | \end{align}</math> |
- | 我们将上面的计算步骤叫作'''正向传播'''。回想一下,之前我们用<math>\textstyle a^{(1)} = x</math> 表示输入层的激活值,那么给定第<math>\textstyle l</math>层的激活值<math>\textstyle a^{(l)}</math>后,第<math>\textstyle l+1</math>层的激活值<math>\textstyle a^{(l+1)}</math>就可以按照下面步骤计算得到: | + | 我们将上面的计算步骤叫作'''正向传播'''。回想一下,之前我们用 <math>\textstyle a^{(1)} = x</math> 表示输入层的激活值,那么给定第 <math>\textstyle l</math> 层的激活值 <math>\textstyle a^{(l)}</math> 后,第 <math>\textstyle l+1</math> 层的激活值 <math>\textstyle a^{(l+1)}</math> 就可以按照下面步骤计算得到: |
- | :<math> | + | : <math> \begin{align} |
z^{(l+1)} &= W^{(l)} a^{(l)} + b^{(l)} \\ | z^{(l+1)} &= W^{(l)} a^{(l)} + b^{(l)} \\ | ||
a^{(l+1)} &= f(z^{(l+1)}) | a^{(l+1)} &= f(z^{(l+1)}) | ||
- | \end{align}</math> | + | \end{align}</math> |
将参数矩阵化,使用矩阵-向量运算方式,我们就可以利用线性代数的优势对神经网络进行快速求解。 | 将参数矩阵化,使用矩阵-向量运算方式,我们就可以利用线性代数的优势对神经网络进行快速求解。 | ||
- | 目前为止,我们讨论了一种神经网络的例子,但我们也可以构建一个另一种'''结构'''的神经网络(这里结构指的是神经元之间的联接模式),包括具有多个隐藏层的神经网络。最常见的一个例子是<math>\textstyle n_l</math>层的神经网络,第<math>\textstyle 1</math>层是输入层,第<math>\textstyle n_l</math>层是输出层,中间的每个层<math>\textstyle l</math>与层<math>\textstyle l+1</math>紧密相联。这种模式下,要计算神经网络的输出结果,我们可以通过之前的等式描述的那样,按部就班,进行正向传播,逐一计算第<math>\textstyle L_2</math>层的所有激活值,再者是第<math>\textstyle L_3</math>层的激活值,以此类推,直到第<math>\textstyle L_{n_l}</math>层。这是一个'''前馈'''神经网络的样例,因为这种联接图并没有闭环或回路。 | + | 目前为止,我们讨论了一种神经网络的例子,但我们也可以构建一个另一种'''结构'''的神经网络(这里结构指的是神经元之间的联接模式),包括具有多个隐藏层的神经网络。最常见的一个例子是 <math>\textstyle n_l</math> 层的神经网络,第 <math>\textstyle 1</math> 层是输入层,第 <math>\textstyle n_l</math> 层是输出层,中间的每个层 <math>\textstyle l</math> 与层 <math>\textstyle l+1</math> 紧密相联。这种模式下,要计算神经网络的输出结果,我们可以通过之前的等式描述的那样,按部就班,进行正向传播,逐一计算第 <math>\textstyle L_2</math> 层的所有激活值,再者是第 <math>\textstyle L_3</math> 层的激活值,以此类推,直到第 <math>\textstyle L_{n_l}</math> 层。这是一个'''前馈'''神经网络的样例,因为这种联接图并没有闭环或回路。 |
- | 神经网络也可以有多个输出单元。比如,以下神经网络有两层隐藏层:<math>\textstyle L_2</math> 及<math>\textstyle L_3</math>,并在<math>\textstyle L_4</math>层中有两个输出单元。 | + | 神经网络也可以有多个输出单元。比如,以下神经网络有两层隐藏层: <math>\textstyle L_2</math> 及 <math>\textstyle L_3</math> ,并在 <math>\textstyle L_4</math> 层中有两个输出单元。 |
[[Image:Network3322.png|500px|center]] | [[Image:Network3322.png|500px|center]] | ||
- | 要求解这样的神经网络,需要样本集 <math>\textstyle (x^{(i)}, y^{(i)})</math> ,其中<math>\textstyle y^{(i)} \in \Re^2</math>。如果你想预测的输出是多个的,那这种神经网络是很适用的。(比如,在医疗诊断应用中,患者的体征指标就可以作为向量的输入值,而不同的输出值<math>\textstyle y_i</math>可以表示不同的疾病存在与否。) | + | 要求解这样的神经网络,需要样本集 <math>\textstyle (x^{(i)}, y^{(i)})</math> ,其中 <math>\textstyle y^{(i)} \in \Re^2</math> 。如果你想预测的输出是多个的,那这种神经网络是很适用的。(比如,在医疗诊断应用中,患者的体征指标就可以作为向量的输入值,而不同的输出值 <math>\textstyle y_i</math> 可以表示不同的疾病存在与否。) |
==中英语对照== | ==中英语对照== |