梯度检验与高级优化

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梯度检验与高级优化
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众所周知,反向传播算法很难调试得到正确结果,尤其是当实现程序存在很多难于发现的bug时。举例来说,索引的缺位错误(off-by-one error)会导致只有部分层的权重得到训练,再比如忘记计算偏置项。这些错误会使你得到一个看似十分合理的结果(但实际上比正确代码的结果要差)。因此,但从计算结果上来看,我们很难发现代码中有什么东西遗漏了。本节中,我们将介绍一种对求导结果进行数值检验的方法,该方法可以验证求导代码是否正确。另外,使用本节所述求导检验方法,可以帮助你提升写正确代码的信心。
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缺位错误(Off-by-one error)举例说明:比如 <math>\textstyle for </math>循环中循环 <math>\textstyle m</math>次,正确应该是 <math>\textstyle for (i=1;~i<=m;~i++)</math>,但有时程序员疏忽,会写成 <math>\textstyle for (i=1;~i<m;~i++)</math>,这就是缺位错误。
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假设我们想要最小化以 <math>\textstyle \theta</math> 为自变量的目标函数<math>\textstyle J(\theta)</math>。假设 <math>\textstyle J : \Re \mapsto \Re</math>,则 <math>\textstyle \theta \in \Re</math>。在一维的情况下,一次迭代的梯度下降公式是
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:<math>\begin{align}
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\theta := \theta - \alpha \frac{d}{d\theta}J(\theta).
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\end{align}</math>
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再假设我们已经用代码实现了计算 <math>\textstyle \frac{d}{d\theta}J(\theta)</math> 的函数 <math>\textstyle g(\theta)</math>,接着我们使用 <math>\textstyle \theta := \theta - \alpha g(\theta)</math> 来实现梯度下降算法。那么我们如何检验 <math>\textstyle g</math> 的实现是否正确呢?
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回忆导数的数学定义:
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:<math>\begin{align}
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\frac{d}{d\theta}J(\theta) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0}
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\frac{J(\theta+ \epsilon) - J(\theta-\epsilon)}{2 \epsilon}.
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\end{align}</math>
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那么对于任意 <math>\textstyle \theta</math> 值,我们都可以对等式左边的导数用:
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:<math>\begin{align}
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\frac{J(\theta+{\rm EPSILON}) - J(\theta-{\rm EPSILON})}{2 \times {\rm EPSILON}}
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\end{align}</math>
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来近似。
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实际应用中,我们常将 <math>\textstyle EPSILON</math> 设为一个很小的常量,比如在<math>\textstyle 10^{-4}</math> 数量级(虽然 <math>\textstyle EPSILON</math> 的取值范围可以很大,但是我们不会将它设得太小,比如 <math>\textstyle 10^{-20}</math>,因为那将导致数值舍入误差。)
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给定一个被认为能计算 <math>\textstyle \frac{d}{d\theta}J(\theta)</math> 的函数<math>\textstyle g(\theta)</math>,我们可以用下面的数值检验公式
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:<math>\begin{align}
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g(\theta) \approx
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\frac{J(\theta+{\rm EPSILON}) - J(\theta-{\rm EPSILON})}{2 \times {\rm EPSILON}}.
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\end{align}</math>
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计算两端是否一样来检验函数是否正确。
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上式两端值的接近程度取决于 <math>\textstyle J</math> 的具体形式。但是在假定<math>\textstyle {\rm EPSILON} = 10^{-4}</math> 的情况下,你通常会发现上式左右两端至少有4位有效数字是一样的(通常会更多)。
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现在,考虑 <math>\textstyle \theta \in \Re^n</math> 是一个向量而非一个实数(那么就有<math>\textstyle n</math>个参数要学习得到),并且 <math>\textstyle J: \Re^n \mapsto \Re</math>。在神经网络的例子里我们使用 <math>\textstyle J(W,b)</math>,可以想象为把参数 <math>\textstyle W,b</math> 组合扩展成一个长向量 <math>\textstyle \theta</math>。现在我们将求导检验方法推广到一般化,即 <math>\textstyle \theta</math> 是一个向量的情况。
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假设我们有一个用于计算 <math>\textstyle \frac{\partial}{\partial \theta_i} J(\theta)</math>的函数 <math>\textstyle g_i(\theta)</math>;我们想要检验 <math>\textstyle g_i</math> 是否输出正确的求导结果。我们定义 <math>\textstyle \theta^{(i+)} = \theta +
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{\rm EPSILON} \times \vec{e}_i</math>,其中
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:<math>\begin{align}
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\vec{e}_i = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}
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\end{align}</math>
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是第 <math>\textstyle i</math> 个基向量(维度和 <math>\textstyle \theta</math> 相同,在第 <math>\textstyle i</math> 行是“<math>\textstyle 1</math>”而其他行是“<math>\textstyle 0</math>”)。所以,<math>\textstyle \theta^{(i+)}</math> 和 <math>\textstyle \theta</math> 几乎相同,除了第 <math>\textstyle i</math> 行元素增加了 <math>\textstyle EPSILON</math>。类似地,<math>\textstyle \theta^{(i-)} = \theta - {\rm EPSILON} \times \vec{e}_i</math> 得到的第 <math>\textstyle i</math> 行减小了 <math>\textstyle EPSILON</math>。然后我们可以对每个 <math>\textstyle i</math> 检查下式是否成立,进而验证 <math>\textstyle g_i(\theta)</math> 的正确性:
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:<math>\begin{align}
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g_i(\theta) \approx
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\frac{J(\theta^{(i+)}) - J(\theta^{(i-)})}{2 \times {\rm EPSILON}}.
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\end{align}</math>
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当用反射传播算法求解神经网络时,正确算法实现会得到:
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:<math>\begin{align}
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\nabla_{W^{(l)}} J(W,b) &= \left( \frac{1}{m} \Delta W^{(l)} \right) + \lambda W^{(l)} \\
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\nabla_{b^{(l)}} J(W,b) &= \frac{1}{m} \Delta b^{(l)}.
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\end{align}</math>
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以上结果与[[反向传播算法]]中的最后一段伪代码一致,都是计算梯度下降。为了验证梯度下降代码的正确性,使用上述数值检验方法计算 <math>\textstyle J(W,b)</math> 的导数,然后验证 <math>\textstyle \left(\frac{1}{m}\Delta W^{(l)} \right) + \lambda W</math> 与 <math>\textstyle \frac{1}{m}\Delta b^{(l)}</math> 是否能够给出正确的求导结果。
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迄今为止,我们的讨论都集中在使用梯度下降法来最小化 <math>\textstyle J(\theta)</math>。如果你已经实现了一个计算 <math>\textstyle J(\theta)</math> 和 <math>\textstyle \nabla_\theta J(\theta)</math> 的函数,那么其实还有更精妙的算法来最小化 <math>\textstyle J(\theta)</math>。举例来说,可以想象这样一个算法:它使用梯度下降,并能够自动调整学习速率 <math>\textstyle \alpha</math>,以得到合适的步长值,最终使 <math>\textstyle \theta</math> 能够快速收敛到一个局部最优解。还有更妙的算法:比如可以寻找一个Hessian矩阵的近似,得到最佳步长值,使用该步长值能够更快地收敛到局部最优(和牛顿法类似)。此类算法的详细讨论已超出了这份讲义的范围,但是L-BFGS算法我们以后会有论述(另一个例子是共轭梯度算法)。你将在编程练习里使用这些算法中的一个。使用这些高级优化算法时,你需要提供关键的函数:即对于任一个 <math>\textstyle \theta</math>,需要你计算出 <math>\textstyle J(\theta)</math> 和 <math>\textstyle \nabla_\theta J(\theta)</math>。之后,这些优化算法会自动调整学习速率/步长值  <math>\textstyle \alpha</math> 的大小(并计算Hessian近似矩阵等等)来自动寻找 <math>\textstyle J(\theta)</math> 最小化时<math>\textstyle \theta</math> 的值。诸如L-BFGS和共轭梯度算法通常比梯度下降法快很多。
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==中英文对照==
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off-by-one error 缺位错误
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bias term 偏置项
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numerically checking 数值检验
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numerical roundoff errors 数值舍入误差
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significant digits 有效数字
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unrolling 组合扩展
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learning rate 学习速率
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Hessian matrix Hessian矩阵
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Newton's method 牛顿法
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conjugate gradient 共轭梯度
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step-size 步长值
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==中文译者==
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袁晓丹(shadowwalker1991@gmail.com),王方(fangkey@gmail.com),林锋(xlfg@yeah.net),许利杰(csxulijie@gmail.com)
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{{稀疏自编码器}}
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{{languages|Gradient_checking_and_advanced_optimization|English}}

Latest revision as of 05:33, 8 April 2013

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