实现主成分分析和白化
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| - | + | 在这一节里，我们将总结PCA, PCA白化和ZCA白化算法，并描述如何使用高效的线性代数库来实现它们。 | |
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| + | 首先，我们需要确保数据的均值（近似）为零。对于自然图像，我们通过减去每个图像块(patch)的均值（近似地）来达到这一目标。为此，我们计算每个图像块的均值，并从每个图像块中减去它的均值。（译注：参见PCA一章中“对图像数据应用PCA算法”一节）。Matlab实现如下： | ||
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| + | avg = mean(x, 1); % 分别为每个图像块计算像素强度的均值。 | ||
| + | x = x - repmat(avg, size(x, 1), 1); | ||
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| + | 下面，我们要计算 <math>\textstyle \Sigma = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (x^{(i)})(x^{(i)})^T</math> ，如果你在Matlab中实现（或者在C++, Java等中实现，但可以使用高效的线性代数库），直接求和效率很低。不过，我们可以这样一气呵成。 | ||
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| + | sigma = x * x' / size(x, 2); | ||
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| + | （自己推导一下看看）这里，我们假设 <math>x</math> 为一数据结构，其中每列表示一个训练样本（所以 <math>x</math> 是一个 <math>\textstyle n</math>×<math>\textstyle m</math> 的矩阵）。 | ||
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| + | 接下来，PCA计算 <math>\Sigma</math> 的特征向量。你可以使用Matlab的 <tt>eig</tt> 函数来计算。但是由于 <math>\Sigma</math> 是对称半正定的矩阵，用 <tt>svd</tt> 函数在数值计算上更加稳定。 | ||
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| + | 具体来说，如果你使用 | ||
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| + | [U,S,V] = svd(sigma); | ||
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| + | 那矩阵 <math>U</math> 将包含 <math>Sigma</math> 的特征向量（一个特征向量一列，从主向量开始排序），矩阵S 对角线上的元素将包含对应的特征值（同样降序排列）。矩阵 <math>\textstyle V</math> 等于 <math>\textstyle U</math> 的转置，可以忽略。 | ||
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| + | （注意 <tt>svd</tt> 函数实际上计算的是一个矩阵的奇异值和奇异向量，就对称半正定矩阵的特殊情况来说，它们对应于特征值和特征向量，这里我们也只关心这一特例。关于奇异向量和特征向量的详细讨论超出了本文范围。） | ||
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| + | 最后，我们可以这样计 算<math>\textstyle x_{\rm rot}</math> 和 <math>\textstyle \tilde{x}</math> ： | ||
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| + | xRot = U' * x; % 数据旋转后的结果。 | ||
| + | xTilde = U(:,1:k)' * x; % 数据降维后的结果，这里k希望保留的特征向量的数目。 | ||
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| + | 这以 <math>\textstyle \tilde{x} \in \Re^k</math> 的形式给出了数据的PCA表示。顺便说一下，如果 <math>x</math> 是一个包括所有训练数据的 <math>\textstyle n</math>×<math>\textstyle m</math> 矩阵，这也是一种向量化的实现方式，上面的式子可以让你一次对所有的训练样本计算出 <math>x_{\rm rot}</math> 和 <math>\tilde{x}</math> 。得到的 <math>x_{\rm rot}</math> 和 <math>\tilde{x}</math> 中，每列对应一个训练样本。 | ||
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| + | 为计算PCA白化后的数据 <math>\textstyle x_{\rm PCAwhite}</math> ，可以用 | ||
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| + | xPCAwhite = diag(1./sqrt(diag(S) + epsilon)) * U' * x; | ||
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| + | 因为 <math>S</math> 的对角线包括了特征值 <math>\textstyle \lambda_i</math> ，这其实就是同时为所有样本<math>\textstyle i</math>计算 <math>\textstyle x_{{\rm PCAwhite},i} = \frac{x_{{\rm rot},i} }{\sqrt{\lambda_i}}</math> 的简洁表达。 | ||
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| + | 最后，你也可以这样计算ZCA白化后的数据<math>\textstyle x_{\rm ZCAwhite}</math>: | ||
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| + | xZCAwhite = U * diag(1./sqrt(diag(S) + epsilon)) * U' * x; | ||
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| + | ==中英文对照== | ||
| + | :主成分分析 Principal Components Analysis (PCA) | ||
| + | :白化 whitening | ||
| + | :均值为零 zero-mean | ||
| + | :均值 mean value | ||
| + | :特征值 eigenvalue | ||
| + | :特征向量 eigenvector | ||
| + | :对称半正定矩阵 symmetric positive semi-definite matrix | ||
| + | :数值计算上稳定 numerically reliable | ||
| + | :降序排列 sorted in decreasing order | ||
| + | :奇异值 singular value | ||
| + | :奇异向量 singular vector | ||
| + | :向量化实现 vectorized implementation | ||
| + | :对角线 diagonal | ||
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| + | ==中文译者== | ||
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| + | 周思远（visualzhou@gmail.com），张力（emma.lzhang@gmail.com），谭晓阳（x.tan@nuaa.edu.cn） | ||
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| + | {{预处理：主成分分析与白化}} | ||
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| + | {{Languages|Implementing_PCA/Whitening|English}} | ||
